x,y>0 且x+y=1求证(1/x^2 -1) (1/y ^2 -1) >=9

(1/x^2 -1) (1/y ^2 -1)

=(1/xy)^2-(1/x^2+1/y^2)+1

=(1/xy)^2-(1-2xy)/x^2y^2+1

=2/xy+1

又x+y>=2根号xy 且x,y>0 故xy<=1/4

故2/xy+1>=9

当且仅当xy=1/4 即x=y=0.5时取等号

故不等式成立

证明：要证明(1/x^2 -1) (1/y ^2 -1)≥9
只要证明1-x^2-y^2+x^2y^2≥9x^2y^2
即只要证明（x+y)^2-x^2-y^2≥8x^2y^2
即只要证明2xy≥8x^2y^2
即只要证明1/4≥xy
又xy≤[（x+y)/2]^2=1/4成立
所以(1/x^2 -1) (1/y ^2 -1)≥9成立